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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
m) $f(x)=x^{5}-5 x$

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.

1) Identificamos el dominio de $f(x)$ En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} (x^5 - 5x) = +\infty $ $ \lim_{x \to -\infty} (x^5 - 5x) = -\infty $ 
Es decir, $f$ no tiene asíntotas horizontales.  3) Calculamos $f'(x)$: 

$ f'(x) = 5x^4 - 5 $

4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:

$ 5x^4 - 5 = 0 $

$x^4 = 1$ Y por tanto, tenemos dos puntos críticos: $ x = 1 $ y $ x = -1 $

5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) $x < -1$
b) $-1 < x < 1$
c) $x > 1$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para $x < -1$ $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. b) Para $-1 < x < 1$,
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. c) Para $x > 1$ 
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

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Avatar Benjamin 21 de mayo 15:33
como seria el limite de x^5-5x? es infinito menos infinito?
Avatar Flor Profesor 21 de mayo 19:57
@Benjamin Fijate que esto ya te lo respondí en una de las primeras dudas de hoy, que pasaba exactamente lo mismo, seguramente con eso quede claro pero sino avisame!
Avatar Benjamin 22 de mayo 08:36
sisi ahora si queda claro despues de tanto jaja
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